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例4解法一:不妨设正三角形ABC的边长为3
在图1中,取BE中点D,连结DF. AE:EB=CF:FA=1:2∴AF=AD=2而∠A=600 , ∴△ADF是正三角形,又AE=DE=1, ∴EF⊥AD在图2中,A1E⊥EF, BE⊥EF, ∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角.由题设条件知此二面角为直二面角,A1E⊥BE,又∴A1E⊥平面BEF,即 A1E⊥平面BEP
在图2中,A1E不垂直A1B, ∴A1E是平面A1BP的垂线,又A1E⊥平面BEP,
∴A1E⊥BE.从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影(三垂线定理的逆定理)设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q,且A1Q交BP于点Q,则∠E1AQ就是A1E与平面A1BP所成的角,且BP⊥A1Q.在△EBP中, BE=EP=2而∠EBP=600 , ∴△EBP是等边三角形.又 A1E⊥平面BEP , ∴A1B=A1P, ∴Q为BP的中点,且,又 A1E=1,在Rt△A1EQ中,,∴∠EA1Q=60o, ∴直线A1E与平面A1BP所成的角为600
在图3中,过F作FM⊥ A1P与M,连结QM,QF,∵CP=CF=1, ∠C=600,
∴△FCP是正三角形,∴PF=1.有∴PF=PQ①,
∵A1E⊥平面BEP, ∴A1E=A1Q,
∴△A1FP≌△A1QP从而∠A1PF=∠A1PQ②,
由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP,
∴∠QMP=∠FMP=90o,且MF=MQ,
从而∠FMQ为二面角B-A1P-F的平面角.
在Rt△A1QP中,A1Q=A1F=2,PQ=1,又∴. ∵ MQ⊥A1P∴∴在△FCQ中,FC=1,QC=2, ∠C=600,由余弦定理得
在△FMQ中,
∴二面角B-A1P-F的大小为
解法二:(1)作面于,连,,,则四边形是正方形,且,以为原点,以为轴,为轴建立空间直角坐标系如图,
则
(2)设平面的法向量为则由知:;
同理由知:可取
同理,可求得平面的一个法向量为
由图可以看出,三面角的大小应等于
则,即所求二面角的大小是.
(3)设是线段上一点,则
平面