齐次方程组AX=O（A为m*n矩阵）只有零解的充分必要条件是？

首先，方程个数必须大于等于未知数个数，m>=n。否则根据线性代数理论，若m<n，则r(A)最多为m，此时基础解系有n-m个向量，方程必定有无穷多解。

其次分情况讨论：
（1）若m=n，此时就是方程个数等于未知数个数，很简单，必须有|A|不等于0，才只有零解。
（2）若m>n，则必须r(A)=n，此时m个方程中有n个是独立的，其他m-n个不是独立的。删去那m-n个方程，就是（1）的情况。

总结上面讨论：
齐次方程组AX=O（A为m*n矩阵）只有零解的充分必要条件可以写为：
r(A)=n

m=n时
你可以由Cramer法则得出：
只有零解的充要条件就是：|A|不等于0
也就A为满秩
m>n的话，m个方程n个未知量，也可以，但是此时必须也是秩=n
m<n，方程少，未知量多，则至少有（n-m）个自由变量，所以无穷多解

所以最后得出：
充要条件是：秩为n