《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．已知非零实数a，b 满足，则等于（ ）．

（A）－1 （B）0 （C）1 （D）2

【答】C．

解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为 ，于是 ，从而 ＝1．

2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（ ）．

（第2题）

（A） （B） （C）1 （D）2

【答】A．

解：因为△BOC ∽ △ABC，所以，即

，

所以， ．

由 ，解得 ．

3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先

后投掷两次，记第一次掷出的点数为 ，第二次掷出的点数为 ，则使关于x，y的方程组 只有正数解的概率为（ ）．

（A） （B） （C） （D）

【答】D．

解：当 时，方程组无解．

当 时，方程组的解为

由已知，得 即 或

由 ， 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得

共有 5×2＝10种情况；或 共3种情况．

又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为 ．

4．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB‖DC， . 动点P从点

B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y. 把y看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为（ ）．

（A）10 （B）16 （C）18 （D）32

（第4题）

图2

图1