一道平面几何题（证明垂直）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/02 00:10:19
已知平面内不共线4点A,B,C,D四点
AC^2-BC^2=AD^2-BD^2
求证CD垂直于AB

请用余弦定理证明，若有其他方法，最好也写出来，每一种追加20分

设AC和BC交点为O.OA,OB,CO,DO分别为a,b,c,d.
AC^2+BD^2=AD^2+BC^2
a^2+d^2-2dacosAOC+b^2+c^2-2bccosDOB=d^2+c^2-2dccosAOD+a^2+b^2-2abcosCOB
化简可得
(da+bc)cosAOC=(ab+dc)cos(180-AOC)
(da+bc)cosAOC=-(ab+dc)cosAOC
因为da+bc与ad+dc都大于0
所以cosAOC=0
所以AOC=90