立方公式题

X=三次根号下（-1/16+√3/16）+三次根号下（-1/16-√3/16）,

8x^3-6x+1=0.
解：先将三次项系数变为1：
得x^3-(3/4)x+1/8=0
令x=u+v,代入原方程即得
u^3+v^3+1/8+(3uv-3/4)(u+v)=0
令3uv-3/4=0,即uv=1/4,从而得一方程组：
u^3+v^3=-1/8................(1)
(u^3)(v^3)=1/64.............(2)
由此可见，u^3和v^3是二次方程
t^2+(1/8)t+1/64=0,即
64t^2+8t+1=0的两个根。
解此二次方程，即得
t1=u^3=[-1-(√3)i]/16; t2=v^3=[-1+(√3)i]/16.
把u^3和v^3表为复数形式。｜u^3｜=｜v^3｜=√[(1/16)^+(√3/16)^2]=1/8
u^3的复角Φ1＝4п/3, v^3的幅角Φ2＝2п/3.
∴u^3=(1/8)[cos(4п/3)+isin(4п/3)].
v^3=(1/8)[cos(2п/3)+isin(2п/3)].
∴uk=(1/2)[cos(2kп+4п/3)/3+isin(2kп+4п/3)/3](k=0,1,2)
vk=(1/2)[cos(2kп+2п/3)/3+isin(2kп+2п/3)/3](k=0,1,2)
由于u和v的立方根各有三种取法，因而可得u+v的九种组合，但九组值中只有三组满足uv=1/4.这三组才是原方程的根。
用K=O,1,2代入，依次得：
u0=(1/2)[cos(4п/9)+isin(4п/9]=(1/2)(cos80°+isin80°);
u1=(1/2)[cos(10п/9)+isin(10п/9)]=(1/2)(cos200°+isin200°);
u2=(1/2)[cos(16п/9)+isin(16п/9)]=(1/2)(cos320°+isin320°).
v0=(1/2)[cos(2п/9)+isin(2п/9)]=(1/2)