椭圆【强人进】

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/28 01:29:09
过椭圆b^2X^2+a^2y^2=a^2b^2的中心O作三条两两夹角问120°的射线分别交椭圆于ABC三点，求1/|OA|^2+1/|OB|^2+1/|OC|^2的值
详细点~~麻烦了！~~~~

x^2/a^2+y^2/b^2=1
设A(r1cosθ,r2sinθ)
A在椭圆上 所以 r1^2(cos^2)θ/a^2+r1^2(sin^2)θ/b^2=1
所以 (cos^2)θ/a^2+(sin^2)θ/b^2=1/r1^2 ①
同理
(cos^2)θ+120°/a^2+(sin^2)θ+120°/b^2=1/r2^2 ②
(cos^2)θ+240°/a^2+(sin^2)θ+240°/b^2=1/r3^2 ③
①+②+③得 1/|OA|^2+1/|OB|^2+1/|OC|^2= 3/2*（1/a^2+1/b^2)

本题还可进一步加强 过焦点作三条两两夹角问120°的射线分别交椭圆于ABC三点 求1/|OA|+1/|OB|+1/|OC|的值
如果感兴趣我们可以交流一下

一个思路，把椭圆方程改成参数方程
x=acosθ
y=bsinθ

设A、B、C的坐标分别为(acosβ,bcosβ)、(acos(β+2π/3),bsin(β+2π/3))、(acos(β+4π/3),bsin(β+4π/3))

通过三角函数变换，很容易得出答案了