求极限lim（n趋于无穷大）(a +a^2 +a^3+ ...+ a^n)/(2 +2^2+ ... +2^n)(a>0,a不等于1)

a +a^2 +a^3+ ...+ a^n = a(1 - a^n)/1-a
2 +2^2+ ... +2^n = 2(1 - 2^n)/(1 - 2) = 2^(n+1) - 2

0 < a < 1 时
lim（n趋于无穷大）(a +a^2 +a^3+ ...+ a^n)
= lim（n趋于无穷大）a(1 - a^n)/1-a
= a / 1 - a

lim（n趋于无穷大）(2 +2^2+ ... +2^n)
= lim（n趋于无穷大）2^(n+1)-2
= 无穷大

lim（n趋于无穷大）(a +a^2 +a^3+ ...+ a^n)/(2 +2^2+ ... +2^n) = 0

a > 1 时
lim（n趋于无穷大）(a +a^2 +a^3+ ...+ a^n)
= a^n

lim（n趋于无穷大）(2 +2^2+ ... +2^n)
= 2^n

lim（n趋于无穷大）(a +a^2 +a^3+ ...+ a^n)/(2 +2^2+ ... +2^n) =
= lim（n趋于无穷大）(a/2)^n
a > 2时，等于无穷大
a = 2时，等于1
1<a<2 时，等于0 、

综上：

a > 2时，等于无穷大
a = 2时，等于1
1<a<2，0<a<1 时，等于0

a > 2时，无极限
a = 2时，等于1
1<a<2，0<a<1 时，等于0

公式：2^(n+1)=(2^0+2^1+2^2+……+2^n)+1
(a +a^2 +a^3+ ...+ a^n)/(2 +2^2+ ... +2^n)
=2^（n+1) -2/a^(n+1) -a-1