高一数学题（向量）

来源：百度知道编辑：UC知道时间：2024/07/03 22:30:06

已知O是△ABC的外心，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，设向量AB=a，向量AC=b，若向量AO=λ1*a+λ2*b,求
（1）|AO|
（2）λ1+λ2的值。

知识储备：

1.外心：三角形外接圆圆心，三角形外接圆圆心是三条边的垂直平分线的交点

2.正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R为三角形外接圆半径)

（1)根据余弦定理：cos∠BAC=cos120°=(AB²+AC²-BC²)/2×AB×AC

解得：BC=√7

根据正弦定理：BC/sin∠BAC=2R（R为△ABC的外接圆半径）

∴R=√21/3

|AO|即为△ABC的外接圆半径，|AO|=R=√21/3

(2)如下图，以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系

则A(-1,0) O(0,2√3/3) B(1,0) C(-3/2,√3/2)

向量AO=（1，2√3/3）

向量a=向量AB=（2，0）

向量b=向量AC=（-1/2，√3/2）

∵向量AO=λ1×a+λ2×b

即（1,2√3/3)=λ1（2，0）+λ2（-1/2，√3/2）

∴可得方程组：1=2λ1-（1/2）λ2 ①

2√3/3= √3/2λ2 ②

解得：λ1=5/6 λ2=4/3

所以，λ1+λ2=5/6+4/3=13/6