数学函数题..急

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/27 11:12:53
三次函数f(x)=x^3 -3bx+3b 在[1,2]
内恒为正值的充要条件为
A 1<=b<=2
B b<0
C 1<b<2
D b<9/4
答案是D
需要详细过程

解.f'(x)=3x²-3b
当b≤1时，f'(x)≥0,此时函数单调递增，则有
f(1)=1-3b+3b>0,符合题意
当b≥4时，f'(x)≤0,此时函数单调递减，则有
f(2)=8-6b+3b>0,b<8/3，不符合题意
当1<b<4时，
令f'(x)=3x²-3b=0解得x=√b是f(x)的极值点
因为当1≤x≤√b时，f'(x)≤0，f(x)单调递减
当√b≤x≤2时，f'(x)≥0，f(x)单调递增
所以f(√b)是极小值点，则有
f(√b)=b√b-3b√b+3b>0解得b<9/4

综上所述，b<9/4

B