初二数学动点难题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/27 06:33:05
直角梯形ABCD中,AB//CD,角B=90°,AB=4,BC=8,CD=10，E为AD中点，点P从点C出发，沿着折线CDA以每秒1个单位的速度向A点运动，当P点运动到A点时停止运动，点P运动t秒。

(1)t取何值时，PE垂直于AD

（2）在（1）的条件下，能否在BC边上找到一点Q，使四边形AEPQ为矩形？若能则指出Q点位置，若不能则说明理由。

（3）AC与BP互相垂直时直接写出t的值
要有过程

1)首先要作很多辅助线，不要搞混
解：作PE垂直于AD，作高AF垂直于CD，连接AP
因为ABCD是直角梯形，所以高是CB即AF＝BC＝8
因为因为AF平行于BC，AB平行于CD，所以AB＝CF＝4
即FD＝CD-CF＝10-4＝6
因为AF垂直于CD,AF =8,FD=6，根据勾股定理AD＝10
因为E是AD中点，且PE垂直于AD，即PE是AD中垂线
所以AP＝PD（中垂线上的点到线段两端距离相等)
设PD，AP长度为X
根据勾股定理得出方程
（X-6）的平方+8的平方＝X的平方
解得X＝25/3
则CP＝10-25/3＝5/3
即t＝5/3秒时，PE垂直于AD

2）不能，作PQ垂直于PE，连接QE，AQ
若AEPQ为矩形则QE＝AP，PE＝AQ
（我没有计算器，自己算）
PD＝25/3，DE＝5 用勾股定理算出PE＝20/3
则AQ＝20/3 AB＝4 用勾股定理算出BQ
PQ＝AE＝5，CP＝5/3 用勾股定理算出CQ
若CQ+BQ＝8则成立，否则反之（一看就知不是）

3)先连接AC，作BP垂直于AC，交AC于O
因为AB平行于CD
所以角BAC＝角ACD
因为AD＝CD＝10
所以角CAD＝角ACD（等边对等角）
即角BAC＝角CAD
在三角形ABO与三角形AOE中
角AOB＝角AOE＝90度
角BAC＝角CAD
AO＝AO（公共边）
所以三角形ABO全等于三角形AOE
所以AP＝BA＝4
即点P行走了10+（10-4）＝16个单位
即AC与BP互相垂直时t＝16

这题，画一下图就一目了然了，添辅助线是一定要的啦
（1）过点A作AH⊥CD
作PE⊥AD
过点P作PF⊥AB
连结PA
∵矩形ABCH(三个角是直角）
∴AH=CB=8
HD=1O-C