方程与函数问题

假设你的x全部是小写，并假设你的f(x)中的f也全部是小写

1.是否存在实数m使得方程2x^2-10x+37/x=0在区（m,m+1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的范围，不存在请说明理由

设f(x)=2x²-10x,g(x)=-37/x,原方程即f(x)=g(x)；
f(x)为开口向上的抛物线，过原点(0,0),顶点为(5/2,-25/2)；
g(x)为以坐标轴为渐近线的分别在二四象限的双曲线，顶点为(-√37,√37)和(√37,-√37)；
画图可知，在第二象限，f(x)和g(x)有且仅有一个交点，即原方程有一个实根x1＜0，要使方程有且只有两个不等的实数根，f(x)和g(x)在第四象限必须相切，但g(x)单调增加，所以切点必在f(x)的顶点的右侧，即x2≥5/2，所以x2-x1＞5/2,所以即使存在两个不相等的实数根也不可能落在长度为1的区间（m，m+1）内，所以这样的m不存在。

2.若关于方程|x^3-ax^2|=x有不同的四个解，则a的范围是

显然，x=0是方程的一个解，当x≠0时，x≥0，方程化为 |x²-ax|=1,
对于x²-ax=1，Δ=a²+4>0，不论a取何值，恒有两个不相等的实数根，且均不为0（事实上，这两个根是a/2±√(a²+4)/2，用反证法很容易证明其≠0）；
现在已经有三个不相等的实数根了。
对于x²-ax=-1，只能有一个根，Δ=a²-4=0，得a=±2；
两个二次方程的根会不会有相等的情形呢？分别取a=±2求出这两个方程的根验证一下就知道，不会。
所以a的取值范围就是a=±2

3.已知二次函数f(x)=x²+2bx+c(b,c为实数），满足f(1)=0,且关于x的方程f(x)+x+b=0的两个根分别在区间(-3,-2)，(0,1)内

（1）求实数b的范围
f(1)=1²+2b*1+c=0,c=-1-2b,所以f(x)=x²+2bx-1-2b=(x-1)(x+1+2b)
两个根