一道高一的数学题，急~

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/08 02:47:00
在斜三角形ABC中,内角A,B,C满足(sinB^2-sinA^2-sinC^2)/sinC=(cos(A+C))/cosA.求角A的大小！
答案是45度
可是我需要的是过程，谢谢~

解:设三角形ABC三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c,利用正弦定理和余弦定理化简，得
〔(b/2R)^2-(a/2R)^2-(c/2R)^2〕/(c/2R)=
-cos B/cos A.
(b^2-a^2-c^2)/2Rc=-[(a^2+c^2-b^2)/2ac]/[(b^2+c^2-a^2)/2bc)].
(b^2-a^2-c^2)/2Rc=-(a^2+c^2-b^2)b/[(b^2+c^2-a^2)a].
1/2Rc=b/[(b^2+c^2-a^2)a].
a/2R=bc/(b^2+c^2-a^2).
sin A=1/(2cos A).
2sin Acos A=1.
sin 2A=1.又在三角形ABC中,所以2A=∏/2，所以A=∏/4.
即A为45度.

解：
由正弦定理，得：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
则：
[(sinB)^2-(sinA)^2-(sinC)^2]/sinC
=[(b/2R)^2-(a/2R)^2-(c/2R)^2]/(a/2R)(c/2R)
=[b^2-a^2-c^2]/(ac)

又：由余弦定理，得：
cos(A+C)
=cos(兀-B）
=-cosB
=-(a^2+c^2-b^2)/(2ac)
=(b^2-a^2-c^2)/(2ac)

cosA
=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
又：
(sinB^2-sinA^2-sinC^2)/sinAsinC=(cos(A+C))/cosA
则：
[b^2-a^2-c^2]/(ac)
=[(b^2-a^2-c^2)/(2ac)]/[(b^2+c^2-a^2)/(2bc)]
整理，得：
b^2+c^2-a^2=bc
则：
由余弦定理，得：
cosA
=(b^2+c^2-a^2)/2bc
=(bc)/(2bc)
=1/2
则：
A=60度

<