数学是怎样由对数的定义推出换底公式的？

方法很多啦，讲种容易理解的吧；
根据指，对定义来证明

要求证 logab= logc b/logc a , 不妨令a^x=b,c^y=b,c^z=a;
∵（c^z）^x=b,既得 c^(zx)=b, 也就是y=zx.

根据指数，对数定义，
换底公式就是 x=y/z, 已经证得。

是a＞0，且a≠0；c＞0，且c≠1；b＞0
设a^d=b…①
则d=logab…②
把②代入①即得：
a^(logab)=b…③
把③两边取以c为底的对数得
logab·logca=logcb
所以
logab=(logcb)/(logca)

设：a^m=c b^n=c m、n为R
则 logb a=n/m=(logb c)/(loga c)显然logb a不为0
移项得:loga c=(logb C)/(log b a)
即换底公式

设log（c)b/log(c)b=x
则有log（c）b=log（c)ax
所以b=ax
则X=log(a)b