初三数学竞赛2题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/25 02:28:55
一 设2n（n大于等于2）个整数A1，A2，……A2n具有性质：从这2n个数中任意地删去一个数Ai剩下的2n-1个数都能分成和相等的两组，求证：这两个数都为0.
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二 [x^3]=4x+3的解是______
要具体过程，注意！是两道题！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
打错了设2n（n大于等于2）个整数A1，A2，……A2n具有性质：从这2n个数中任意地删去一个数Ai剩下的2n-1个数都能分成和相等的两组，求证：这2n个数都为0.

一、

设X为有限数集，记Sum(X)为X中所有数的和。

设这2n个数组成的集合为A，

记S=Sum(A)

记Bi为A中除去Ai剩余的数所组成的集合，

由题，设每个Bi可被分成Ci与Di两个不相交的非空集合，且Sum(Ci) = Sum(Di)。

由Sum(Ci) + Sum(Di) = Sum(Bi) = S - Ai

与Sum(Ci) = Sum(Di) 联立可得，

Sum(Ci) = Sum(Di) = (S - Ai)/2

由于每个Ai是整数，所以Sum(Ci) = Sum(Di) = (S - Ai)/2是整数，所以(S - Ai)可以被2整除，

(下面用==表示模算术中的“等号”，以与普通等号区别开)

所以S == Ai (mod 2)，对每个i都成立。

所以Ai == S == Sum(A) == 2n*S == 0 (mod 2)

即2能整除所有的Ai，

因此，Sum(Ci) = Sum(Di) = (S - Ai)/2 能被2整除，所以(S - Ai)可以被4整除，

所以S == Ai (mod 4)，对每个i都成立。

又因为S能被2整除，设S = 2k

所以Ai == S == Sum(A) == 2n*S == 4n*k == 0 (mod 4)

即4能整