一道关于椭圆定值的问题！（难）

椭圆中心O，长轴，短轴分别为2a,2b，A.B分别为椭圆的两点，OA垂直OB,
求证：1/OA的模平方+1/OB的模平方为定值。（注：θ的几何意义别搞错了！）
蓝天秋菊 的几何方法，前面都没问题。后面不能设“A(aCOSθ,bSINθ) B(-aSINθ,bCOSθ)”θ的几何意义搞错了~
pass_op 你很能算，佩服！ 如果在简便一点就好了。

该椭圆方程为
x^2/a^2+y^2/b^2=1
可设点A坐标为(acosα, bsinα)，B坐标为(acosβ, bsinβ)
OA垂直OB，所以acosα*acosβ+bsinα*bsinβ=0
两遍同除cosα*cosβ，得
a^2+b^2tanα*tanβ=0
tanβ=-(a^2/(b^2*tanα))

1/OA^2+1/OB^2
=1/(a^2(cosα)^2+b^2(sinα)^2) + 1/(a^2(cosβ)^2+b^2(sinβ)^2)
=((cosα)^2+(sinα)^2)/(a^2(cosα)^2+b^2(sinα)^2) + ((cosβ)^2+(sinβ)^2)/(a^2(cosβ)^2+b^2(sinβ)^2)
=(1+(tanα)^2)/(a^2+b^2(tanα)^2) + (1+(tanβ)^2)/(a^2+b^2(tanβ)^2)
=(1+(tanα)^2)/(a^2+b^2(tanα)^2) + (1+((a^2/(b^2tanα)))^2)/(a^2+b^2((a^2/(b^2tanα)))^2)
=(a^2*b^2+a^2*b^2*(tanα)^2+b^4*(tanα)^2+a^4)/(a^2*b^4*(tanα)^2+b^2*a^4)
=(a^2+b^2)/(a^2*b^2)
所以1/OA^2+1/OB^2为定值(a^2+b^2)/(a^2*b^2)

转化为和的平方，再用特殊值

介绍一种几何证明方法：
过点A作AC垂直于OA于A
过点B作BC垂直于OB于B
AC交BC于点C，连接AB、OC，AB交OC于点D
过点A作AH垂直OC于H

设矩形0ACB的面积为S，则
OB=S/|OA|
OA=S/|OB|

所以 |OC|^2=|AB|^2
=|OA|^2+|OB|^2
=S^2(1/OA的模平方+1/OB的模平方)
又因为 S^2=|OC|^2|AH|^2