一道关于高一函数的题目

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/21 00:44:54
已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f（x+y）=f（x）+2y（x+y），且f（1）=1，求f（x）的解析式

我的解题过程：
设x+y=1,则y=1-x
代入函数式中，得
f（1）=f（x）+2（1-x）=1，
∴f(x)=2x-1

请问我这个过程正确吗？
若错，请指点错误所在
并重新写出正确的思路
谢谢

不正确
设x+y=1,则y=1-x
若代入函数式中，应得
f（1）=f(1-y）+2（1-x）=1，因为f(x)=f(1-y)

正确的思路
f（x+y）=f（x）+2y（x+y),
f（1+x）=f（1）+2x（1+x),
再用t=1+x代人得f（t）=2t^2-2t+1,∴f(x)=2x^2-2x+1