UC知道无穷级数也可以理解为矩形的面积吗？
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/08 17:45:07
最近在看无穷级数的知识。说到用广义积分判定收敛与发散的方法。图形上，因为f(x)的n到n+1定积分被f(n)与f（n+1)所夹，因此f(x)的积分确定了无穷级数Sn的收敛性。
在这里，我想问：f(x)的定积分在图形上相当于一个区域中的面积，可是f(n)与f(n+1)只是两个函数值，如何能够比大小？请明白的兄弟指点。切忌不知道从哪粘帖些没用的东西。宁缺毋滥。感谢！
问题提得太鲁莽不好意思。
用广义积分判定无穷级数收敛性的定理的原文没有输入上来，没有考虑到现行用智慧为我解答的同志。
定理：各项为正或者0的某级数的（广义）积分判定法（integral test）x>=N，f(x)正，连续，单调减少，且n=N,N+1,N+2,...的时候，如果f(n)=u(下标n)，f(x)从N到正无穷的（广义）定积分，与∑u(下标n)的收敛性一致。f(n+1)与f(n)是n+1与n的函数值，因为f(x)单调减少，所以f(n+1)小于等于f(n)。而定积分可由函数外延点的函数值来确定是由两个巧妙的证明来实现的。（不知道是不是牛顿莱布尼斯公式）第一个回答的同志没有随便摘录网上的资料非常感谢。不过还望您能领会我的问题的意思。不胜感激！
在这里，我想问：f(x)的定积分在图形上相当于一个区域中的面积，可是f(n)与f(n+1)只是两个函数值，如何能够比大小？请明白的兄弟指点。切忌不知道从哪粘帖些没用的东西。宁缺毋滥。感谢！
问题提得太鲁莽不好意思。
用广义积分判定无穷级数收敛性的定理的原文没有输入上来，没有考虑到现行用智慧为我解答的同志。
定理：各项为正或者0的某级数的（广义）积分判定法（integral test）x>=N，f(x)正，连续，单调减少，且n=N,N+1,N+2,...的时候，如果f(n)=u(下标n)，f(x)从N到正无穷的（广义）定积分，与∑u(下标n)的收敛性一致。f(n+1)与f(n)是n+1与n的函数值，因为f(x)单调减少，所以f(n+1)小于等于f(n)。而定积分可由函数外延点的函数值来确定是由两个巧妙的证明来实现的。（不知道是不是牛顿莱布尼斯公式）第一个回答的同志没有随便摘录网上的资料非常感谢。不过还望您能领会我的问题的意思。不胜感激！
我想你说得有点不对，f(x)从n到n+1的定积分是f(x)的原函数在n+1和n两点取值
的差，并非f(n+1)与f(n)的差。这就是牛顿-莱布尼兹公式。
假设原函数为F(x)，则f(x)从n到n+1的定积分=F(n+1)-F(n)，如果值为正则说明
图形大部分位于x轴之上，负则表明之下。如果f(x)非负，那F(n+1)必然大于等于F(n)。
简单一句话，牛顿-莱布尼兹公式就是把一个具体的图形之面积用一个数值来衡量，所以它是极其伟大的发现。
至于你说的函数值比较大小的问题，这个我就不太明白。或许楼主将前面的话仔细看看就明白了。
针对楼主提问的标题，我认为无穷级数有的时候确实可以理解成为面积，但更多的时候不是那么简单。因为你往往无法找到一个合适的原函数F(x)。