高二的曲线基本题
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/09/24 17:12:11
当k=0时,M就是O点,符合题意
当k不等于0时,则AB的方程为y=k(x+2)
代入椭圆方程得到x^2(4+k^2)+4x*k^2+4k^2-4=0
判别式Δ=16k^4-16(4+k^2)(k^2-1)>0
所以k^2<4/3
设A(x1,y1)B(x2,y2)
则M((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
根据方程得x1+x2=-4k^2/(4+k^2)
而y1+y2=k(x1+2)+k(x2+2)=k(x1+x2+4)=16k/(4+k^2)
所以M(-2k^2/(4+k^2),8k/(4+k^2))
这理你画画图就知道,由于Q的位置决定了这种情况下只可能过顶点C(1,0)
现在问题就转化成CQM三点共线求k了。
CQ的方程为x+y=1,将M的坐标代入得到一个关于k的方程:3k^2-8k+4=0
所以k=2/3,k=2应该舍去,因为k^2<4/3
综上所述k=0或2/3
当k=0时~~~AB即为短轴~~QM即为长轴~~过顶点
y=k(x+2)
x^2+y^2/4=1
4x^2+k^2(x+2)^2=4
(k^2+4)x^2+(4k^2)x+(4k^2-4)=0
Delta = (16k^4)-4(4k^2-4)(k^2+4) = (16k^4)-4(4k^4+16k^2-4k^2-16)
= 64-48k^2
x1,2 = (-4k^2+/-根号(64-48k^2))/(2k^2+8)
x1 = (-2k^2+2根号(4-3k^2))/(k^2+4)
x2 = (-2k^2-2根号(4-3k^2))/(k^2+4)
(x1 + x2)/2 = (-2k^2)/(k^2+4)
y=k(x+2) = 8k/(k^2+4)
M((-2k^2)/(k^2+4),8k/(k^2+4))
Q(0,1)