“原国务院总理”和“国务院原总理”这两种语法哪个正确？还是都正确？

从语法上分析应该是国务院原总理正确。
你看看：原国务院 总理，国务院 原总理，“原国务院 总理”，原修饰的是国务院，而只有改朝换代才会有原国务院。而国务院 原总理，所谓铁打的江山流水的官，国务院换总理很正常。

“国务院原总理”更准确
国务院还是国务院，不存在“原有”“现有”的区别，单位没变，人变了。

我们平时所说的总理，事实上是国务院总理的简称，如果我们单独用总理这一称谓，这可以认为是约定俗成的用法，它代表的就是国务院总理的意思，所以介绍前任总理用原国务院总理是正确的。如果说国务院原总理，不仅听起来不礼貌，感觉不对，另外，从语法角度说也是一种重复吧。

应该是国务院原总理

原国务院总理正确！
自己分开看啊：原来的国务院总理，国务院原来的总理
显然后者在礼貌上就通不过啊！

第一个正确，