在三角形ABC中,角C=90度,BD平分角ABC交AC于D,求证:BC的平方:BD的平方=AC:2AD.

来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/07/08 15:29:52

过A点做BC平行线AE交BD延长线于点E,
三角形AED相似于三角形BCD
CD/AD=BC/AE (式1)
BC/BD=AE/ED
所以 BC/AE=BD/ED
等式两边同时加1,1+BC/AE=1+BD/ED
得(AE+BC)/AE=(ED+BD)/ED=BE/ED
(式1)两边同时加1得1+CD/AD=1+BC/AE
所以得(AD+CD)/AD=(AE+BC)/AE=AC/AD
整理得AC/AD=BE/ED
BC/BD=AE/ED BC^2/BD^2=AE^2/ED^2
所以就变成求证BE/2ED=AE^2/ED^2
两边一约分得AE^2/ED=BE/2即2AE^2=BE* ED

过A点做BC平行线AE交BD延长线于点E,三角形AED相似于三角形BCD,得BD/BC=DE/AE,而AE=AB,故
BD2/BC2=DE2/AB2=(AE2+AD2)/AB2=(AB2+AD2)/AB2=(AC2+BC2+AD2)/(BC2+AC2)
所以BD2/BC2=(BC2+CD2)/BC2=(AC2+BC2+AD2)/(BC2+AC2)
用合分比性质,分子分母同时相减,得BD2/BC2=(AC2+AD2-CD2)/AC2=[AC2+(AD+CD)(AD-CD)]/AC2=(AC2+AC*AD-AC*CD)/AC2
约去AC得 =(AC+AD-CD)/AC=(AC-CD+AD)/AC=2AD/AC
所以BC2/BD2=AC/2AD
即为所证