已知函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)= f(a)+ f(b)-1成立,当x>0时,f(x)>1 ，设函数g(x)=f(x)-1

1.任取x1>x2
由f(a+b)= f(a)+ f(b)-1 令a=x2,b=x1-x2
有f(x1)= f(x2)+ f(x1-x2)-1
b=x1-x2>0 f(x1-x2)>1
f(x1)= f(x2)+ f(x1-x2)-1>f(x2)

所以增函数

2.令a=b=0
有f(0)=1
令a=x,b=-x
有f(0)=f(x)+f(-x)-1

所依f(x)+f(-x)=2
所以 f(-x)-1=1-f(x)
g(-x)=f(-x)-1=1-f(x)=-g(x)

所以g(x)为奇函数 也为增函数

g(m^2-m-6)+g(m-3)<0等价于
g(m^2-m-6)<-g(m-3)=g(-m+3)

等价于m^2-m-6<-m+3

m属于（-3，3）

1）
f(a+b+1)= f(a+b)+f(1)-1
f(a+b+1)-f(a+b)=f(1)-1>0
为增

2）
g(x)=f(x)-1
g(x+1)=f(x+1)-1=f(x)+f(1)-2
g(x+1)-g(x)=f(1)-1〉0
所以g(x)为增

f(0)=1
g(x)=f(x)-1
g(-x)=f(-x)-1
f(0)=f(x)+f(-x)-1=1
所以g(x)+g(-x)=0
为奇函数

(1)取b>0,则a+b>a,且由当x>0时,f(x)>1 知f(b)>1,所以f(a+b)-f(a)=f(b)-1>0，
所以f(x)是R上的增函数。
(2)函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)= f(a)+ f(b)-1成立,
取b=0,则有f(0)=1,
g(m^2-m-6)+g(m-3)<0即
f(m^2-m-6)