高中数学帮忙解决下谢谢，过程

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/02 05:44:10
1.设a，b，c都属于正实数，求证根号下（a的平方+b的平方）+根号下（b的平方+c的平方）+根号下（c的平方+a的平方）大于等于根号2倍的（a+b+c）
2.用综合法证明：设a大于0，b大于0且a+b=1，则（a+a分之一）平方+（b+b分之一）平方大于等于2分之25
1.根号（a^2+b^2）+根号(b^2+c^2)+根号(c^2+a^2)≥(根号2)*根号(a+b+c)

题目是:根号（a^2+b^2）+根号(b^2+c^2)+根号(c^2+a^2)≥(根号2)*根号(a+b+c)吧!

因为（a-b）^2 >=0 ,所以a^2+b^2 >=2ab ,
两边同加a^2+b^2得： 2*(a^2+b^2) >=a^2+2ab+b^2
所以 2*(a^2+b^2) >=（a＋b）^2
因为 a>0,b>0

所以将上式两边同开方得：（根号2)*根号(a^2+b^2) >=a＋b
即 根号(a^2+b^2) >=a/（根号2）＋b/（根号2）
同理 根号(b^2+c^2) >=b/（根号2）＋c/（根号2）
同理 根号(c^2+a^2) >=c/（根号2）＋a/（根号2）

以上三式相加得：
根号(a^2+b^2)+根号(b^2+c^2)+根号(c^2+a^2)>=2*[a/（根号2）＋b/（根号2)＋c/（根号2）]

即 根号(a^2+b^2)+根号(b^2+c^2)+根号(c^2+a^2)>=(根号2)*（a+b+c)

2.

(a+ 1/a)^2+(b+ 1/b)^2
=4+a^2+b^2+1/(a^2)+1/(b^2)
=4+(a^2+b^2)[1+1/(a^2*b^2)]
=4+(1-2ab)[1+(1/ab)^2]

显然，随着ab值的增大，值会减小；
即ab取最大值时，(a+ 1/a)^2+(b+ 1/b)^2有最小值；

2ab<=a^2+b^2=1-2ab,所以，ab<=1/4,此时a=b=1/2;

将a,b带入原式，所以
(a+ 1/a)^2+(b+ 1/b)^2
≥(2+1/2)^2+(2+1/2)^2=25/2