在一圆O内，弦AB与直径MN相交于P点且夹角为45度（P点不为圆心），求证：AP^2+BP^2=2R^2

作OE⊥AB于点E，则AE＝BE
∵∠OPE＝45°
∴OE＝PE
设：BE＝a，OE＝b
则AE＝a，PE＝b
∴PB＝a＋b，PA＝a－b
∴PA^2＋PB^2＝（a－b）^2＋（a＋b）^＝2（a^2＋b^2）
连接OB
在Rt△BOE中，OE^2＋BE^2＝OB^2
∴a^2＋b^2＝2R^2
∴PA^2＋PB^2＝2R^2

首先过P点做AB的垂直线与圆周分别相交于C 、D点，即做垂线段CD，
又因为AB与MN成45°AB与CD同为一个圆的两条玄线且垂直相交P点
所以AB=CD AP=CP BP=DP ∠CPN=∠APN=45°
因为线段 OA= OB =OC =OD=R PC2+PB2=BC2=AP2+BP2
所以∠OBA=∠OCD
所以∠OBA+∠CBA=∠OCD+∠CBA=∠CPB=90°
因此 OB2+OC2=BC2=2R2
得证 AP2+BP2=2R2