高三 数学 抛物线 请详细解答,谢谢! (9 14:58:10)

A，B是抛物线 y^2=2px (p>0)上的两点，且OA垂直OB.
1.求A,B两点的横坐标之积和纵坐标之积。
2.求证：直线AB过定点
3.求弦AB中点P的轨迹方程
4.求三角形AOB面积的最小值

1.设A(x1,y1) B(x2,y2) 则直线AB方程为 x=my+b

因为抛物线 y^2=2px 联立解得y1*y2=-2pb x1*x2=b^2

又因为OA垂直与OB 所以 OA OB的向量积 等于0

则x1*x2+y1*y2=0 即 b^2-2pb=0 b=0 （舍去）

所以b=2p

则 A,B两点的横坐标之积x1*x2=b^2=4p^2
纵坐标之积y1*y2=-2*p*2p=-4p^2
2.由1得直线AB方程为 x=my+2p
所以 恒过(2p,0)
3.弦AB中点P的坐标为（x,y)
则
(y1+y2)^2=y1^2+y2^2+2y1y2
(2y)^2=2p(x1+x2)+2y1y2
4y^2=2p*2x-8p^2
y^2=px-2p^2
4.三角形AOB面积=1/2*|oa|*|ob|=?

1、
y^2=2px
设 A（x1,y1) ,B(x2,y2) OA垂直于OB所以x1x2+y1y2=0
而 y1^2=2px1
y2^2=2px2 所以 （y1y2)^2=4p^2x1x2
所以 x1x2=4p^2,y1y2=-4p^2

2、你可以设 AB为x=ty+m
带入y^2=2px 得 y^2-2pty-2pm=0
所以 y1y2=-4p^2=-2pm m=2p
故知直线过定点 （2p，0）

3、设P(x,y)
(y1+y2)^2=y1^2+y2^2+2y1y2
(2y)^2=2p(x1+x2)+2y1y2
4y^2=2p*2x-8p^2
y^2=px-2p^2

4、当x1=x2
y1=-y2时三角形面积最小