数学问题:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知O是为AC与BD的交点

1
连接MO,MC,MB1;
设正方体棱长为2a;则由空间线段的计算公式可得:
MO=√(OD^2 + MD^2)=√3a;
B1O=√(a^2 +a^2 +(2a)^2)=√6a;
MB1=√((2a)^2+ (2a)^2 +a^2)=3a;
则: MB1^2 +B1O^2 =MO^2
即 MB1⊥B1O.
而由基本几何知识可知,AB1=CB1→B1O⊥AC.
于是,B1O⊥平面AMC.
AM在平面AMC内,
∴B1O⊥AM.
即异面直线B1O为与AM所成角为90°.

2
O在AC上,AC在平面AMC内,则O∈平面AMC.
作B1N⊥AM于N;连接ON.
由B1O⊥平面AMC可知,∠B1NO即所求二面角的平面角.
由三垂线定理可知,MO⊥AC.则△AOM是直角三角形.

则由△AOM的面积法可以求得:
2S△AOM=AM×ON=AO×MO
而AM=√((2a)^2+ a^2)=√5a,
则ON=AO×MO/AM=[√(6/5)]a
则tan∠B1NO=B1O/ON=(√6a)/[√(6/5)]a
=√5.

则:二面角B1-MA-C的大小为arctan√5

(1).连接CM，设MC中点为N，连接ON、B1N、C1N.
则AM‖ON，B1O为与AM所成角等于∠B1ON或其补角。
设正方体边长为1，则AM=√5，ON=AM/2=√5/2；
在△OBB1中，OB=√2,BB1=2,BB1⊥OB,故OB1=√6；
B1C1⊥C1N,B1C1=2,C1N=√13/2,故B1N=√29/2
(C1N的求法如下：在正方形DD1C1C中，过N作CD的平行线交CC1、DD1分别于E、F，则NE=1/2EF=1，EC=DF=1/2DM=1/2,C1E=3/2,C1E⊥NE,故C1N=√13/2）
再用余弦定理，
cos=(OB1^2+ON^2-B1N^2)/2OB1*ON=0
所以∠B1ON=90°
即