高三 数学 概率 请详细解答,谢谢! (13 12:24:11)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/04 19:11:59
一个口袋中装有2个白球和n个红球（n大于等于2，且n属于自然数），每次从袋中摸出两个球，（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球的颜色相同为中奖，否则为不中奖。
记三次摸球恰有一次中奖的概率为f（p），当n取何值时，f（p）最大？

摸出两个白球概率为
(2/(n+2))*(1/(n+1))
摸出两个红球概率为
(n/(n+2))*((n-1)/(n+1))
中奖概率为P
P=(2/(n+2))*(1/(n+1))+(n/(n+2))*((n-1)/(n+1))
=（n²-n+2）/(n+2)(n+1)
记三次摸球恰有一次中奖的概率为f（p），
f(p)=3*P*(1-P)²
=(3/2)*(2P)*(1-P)*(1-P)
<=(3/2)*((2P+1-P+1-P)/3)^3
=(3/2)*(2/3)^3
=4/9
等号在2P=1-P即P=1/3时成立
（n²-n+2）/(n+2)(n+1)=1/3
解得：n=1或n=2
当n=1或n=2时f(p)最小
此时f(p)=4/9

f（p）=3p×(1-p)^2,f'(p)=3(1-p)(1-3p),极大值在p=2/3时取得
而由题意，p=[1+n（n-1）/2]/[(n+2)(n+1)]=2/3，得n为无理数，取其近似整数
得n=9时，f（p）最大