一道周期函数证明题

因为f(x)的图象关于直线x=b与x=a都对称
所以f(x)=f(2a-x) f(x)=f(2b-x)
f(2a-x)=f(2b-x)
令2a-x=t 则x=2a-t
原式变为f(t)=f(2b-2a+t)=f(t+(2b-2a))
由于t的任意性f(x)是周期函数 且T=2b-2a.

x=a对称,x点离a点距离=a-x 所以与x点关于x=a对称的点是a+(a-x)=2a-x
--> f(2a-x)=f(x)
同理有 f(2b-x)=f(x)
-->f(x+(2b-2a))=f(x+2b-2a)=f(2b-(2a-x))=f(2a-x)=f(x)
-->f(x)为周期函数，2b-2a为它的一个周期。

因为 f(x)=f(2a-x) f(x)=f(2b-x)
所以 f(2a-x)=f(x)=f(2b-x)
令2a-x=u
2b-x=2b+u-2a
so f(u)=f(u+2b-2a)
即f(x)=f(x+2b-2a)
得证

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