概率论 Y = lnX ~ N(u,1) 求E(X)

回答：

根据题意，Y∼N(μ, 1), X=e^(Y), y=h(x)=lnx, h'(x)=1/x。于是，X的概率密度为

ψ(x)=[1/√(2π)]{e^[-(1/2)(lnx-μ)^2]}(1/x), (0<x<∞)，

均值为

E(x) =∫(0, ∞)xψ(x)dx = ∫(0, ∞)[1/√(2π)]{e^[-(1/2)(lnx-μ)^2]}dx.

做替换t=lnx, x=e^(t), dx=[e^(t)]dt,

E(X)
= e^(μ+1/2)∫(-∞, ∞)[1/√(2π)]{e^[-(1/2)(t-μ-1)^2]}dt
= e^(μ+1/2).

[注意：积分号内相当于正态分布N(μ+1, 1), 故其积分恰为1。]