求1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+...+1/(1+2+3..n)的值

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/29 20:56:08
如题
n为自然数

1/(1+2+...n)=1/[n(n+1)/2]=2/[n(n+1)=2[1/n -1/(n+1)]

1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+...+1/(1+2+3..n)
=2[1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+....+1/n-1/(n+1)]
=2[1-1/(n+1)]=2n/(n+1)

先由分母可得分母的同项公式是n(n+1)/2
所以Sn=2(1/2+1/6+1/12.....+1/n(n+1)
=2[1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4....+1/n-1/(n+1)]
注:1/2=1-1/2 1/6=1/2-1/3 ...
1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
可得Sn=2[1-1/(n+1)]
=2n/(n+1)