证明对任意的abcd,恒有(ac+bd)²≤(a²+b²)(c²+d²)
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/09/25 18:27:50
(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2
=(ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2-(ac)2-(bd)2-2abcd
=(ad-bc)2>=0
就展开吧
a²c²+b²d²+2abcd≤a²c²+b²d²+a²d²+b²d²
两边消去得到
2abcd≤a²d²+b²d²
就是要我们证明这个式子成立就行了
那么这样看(ad-bd)^2≥0
那么展开得到a²d²+b²d²-2abcd≥0
所以2abcd≤a²d²+b²d²得证,即原命题得证
(ac+bd)²=a²c²+2acbd+b²d²
(a²+b²)(c²+d²)=a²c²+a²d²+b²d²+b²c²
用2式减1式=a²d²+b²c²-2abcd=(ad-bc)²>=0
所以2式>=1式
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