已知Rt三角形ABC中∠C=90°,∠BAC=30°,以此三角形为基础,构造一个新的三角形,求

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/04 05:18:00
金考卷已知Rt三角形ABC中∠C=90°,∠BAC=30°,以此三角形为基础,构造一个新的三角形,求正切15°的值

设BC=1，AB=2，AC=√3
过A做∠BAC的平分线，交BC于D
过D做AB的垂线DE
则DE=DC
三角形BDE中
sinB=sin60度=DE/BE=DE/（BC-CE）=DE/（1-DE）=√3 /2
则CE=DE=2√3 -3
所以tg（角CAE）=tg（15度）=CE/AC=（2√3 -3）/√3=2-√3

作∠BAC平分线交BC于D，再做DE⊥AB,则有△ACD≌△ADE，CD=DE
设BC=1，CD=DE=x，则有AC=√￣3，AB=2,BE=2-√￣3，DB=1-x
在Rt△DEB中，勾股定理DE^2+EB^2=DB^2
x^2+（2-√￣3）^2=(1-x)^2 解出x的值，
tan15°=tanCAD=CD/AC=x/√￣3

2-√3