设函数f(x)对人任意实数x,y有f(x+y)=f(x)f(y)且f'(0)=1证明f'(x)=f(x)

这种题可以取特殊值
f(x+y)=f(x)f(y)
取x=0
∴f(y)=f(0)f(y)
∴f(0)=1或f(y)=0
取y=0
∴f(x)=f(0)f(x)
∴f(0)=1或f(x)=0
如果f(x)=0或f(y)=0那f(x+y)恒等于0不可能
∴f(0)=1
∵f'(0)=1∴f(0)=f'(0)=1
∴f(0)=f'(0)
∴f'(x)=f(x)

证明：
令y=△x,则：
f(x+△x)=f(x)*f(△x),两边取对数，得：
lnf(x+△x)=lnf(x)+ln(△x)
lnf(x+△x)-lnf(x)=ln(△x)
同除以△x,得
ln'f(x)=lnf(△x)/△x=f'(0)=1
积分：
lnf(x)=x+C
f(x)=exp(x+C)=k*exp(x)
所以：f'(x)=k*exp(x)=f(x)