数学难题 数论高手请进

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/04 09:20:51
求证：n|[2^(n-1)]-1
条件：n为且仅为素数
以上可能为专业书写方式，意思是如果n为且仅为素数，试证明n能整除[2^(n-1)]-1,本人也以极大的耐心验证了n<32之内的所有素数，发现皆成立之，故希望某位高手能证明之。
另外，正所谓天生定理必有用，该猜想若得以证明，就能成为判定素数的又一高效方法，至少比威尔逊定理要高效的多。

求证：若n为素数,则n|[2^(n-1)]-1
证明:题目改写为
p素,则2^(p-1)-1|:p
或:p素,则2^(p-1)==1 mod p
这是费马小定理的特例，费马小定理又是欧拉定理的特例。
证明过程参见百度百科：
http://baike.baidu.com/view/263807.html?wtp=tt

其逆命题是错误的。上面的百度百科中已讲到。
也就是说：若2^(p-1)==1modp，则p是素数。这个命题是错误的。满足这一条件的，有素数，也有合数。满足这一条件的合数，称作伪素数。
建立于以上思路,有一种或然的素性检验方法,得到的数可能是素数(或然素数):
http://baike.baidu.com/view/831881.htm

参见：http://baike.baidu.com/view/1260562.html?wtp=tt
更有趣的伪素数，参见：卡米歇尔数
http://baike.baidu.com/view/2692465.html?wtp=tt

关于素数的检验,参见:
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