在△ABC中,∠C=3∠A,AB=10,BC=8,则AC的长是？急

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/02 17:42:59

解：∵∠C=3∠A.
sinC=sin3A=3sinA-4sin^3A.
由正弦定理得：
AB/sinC=BC/sinA.
sinC=ABsinA/BC
3sinA-4sin^3A=(AB/BC)sinA.
3-4sin^2A=10/8=5/4 (∵sinA≠0,∴约去)
sin^2A=7/16
sinA=√7/4.
cosA=√(1-sin^2A )=3/4.
sinB=sin(A+C)=sin4A
=sin2*2A
=2sin2Aco2A
=4sinAcosA(2cos^2A-1)
=4*(√7/4)*(3/4)[2(3/4)^2-1].
=(3/4)*√7*(1/8)
∴sinB=3√7/32。
再应用正弦定理得：
AC/sinB=BC/sinA.
AC=BCsinB/sinA.
=8*(3√7/32)/(√7/4).
∴AC=3. －－－即为所求。

BC=a=8
AC=b
AB=c=10

a/c=sinA/sinC
8/10=sinA/sin(3A)
5sinA=4sin(3A)
5sinA=4sinAcos2A+4cosAsin2A
5sinA=4sinAcos2A+8cosAsinAcosA
5=4cos2A+8cosAcosA
=8(cosA)^2-4+8(cosA)^2
=16(cosA)^2-4

(cosA)^2=9/16

b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
=64+100-160cosB
=164-160cosB
=164+160cos(A+C)
=164+160cos(4A)
=164+160[2(cos2A)^2-1]
=164+320(cos2A)^2-160
=4+320[2(cosA)^2-1]^2
=4+320[1/8]^2
=4+5
=9