(1+根号2分)之一+（根号2+根号3）分之一+...+（根号2008+根号2009）分之一

1/(1+√2)=(√2-1)/(√2-1)(√2+1)=(√2-1)/(2-1)=√2-1
同理，1/(√2+√3)=(√3-√2)/(3-2)=√3-√2
后面的以此类推
所以原式=(√2-1+√3-√2+……+√2009-√2008)(1+√2009)
=(√2009-1)(√2009+1)
=2009-1
=2008

【(1+根号2分)之一+（根号2+根号3）分之一+...+（根号2008+根号2009）分之一】乘以1+根号2009
=[(√2-1)+(√3-√2)+...+(√2009-√2008)](1+√2009)
=(√2009-1)(√2009+1)
=2009-1
=2008