请问这种情况 派出所有权拘留人吗

派出所要赔医疗费，精神损失什么的纯粹属于胡扯，还放出如果不给要拘留，已经是违法行为了。因为派出所根本没有司法裁判权，顶多只是调解。
其次派出所是无权决定拘留的，因为他们只是公安机关的派出机构。决定权在公安和检察院手里。
拘留时要具备一定条件的，打伤了，坚定了没？是轻伤害，还是轻微伤？如果轻微伤都够不上，连治安拘留都达不到。
不过现实中往往都是这样，认了吧，忍了吧。

出于自卫把人打伤，不通，出于自卫可以，但不能超过限度，把人打伤就是超过限度并且有明显的的攻击行为，应该受到制裁

自卫本来很难界定的，因为有相关规定的超过必要这样的词汇。也就是说，你的自卫只能限于当时的甲的打人行为终止。若继续施加行为的话就是乙的问题了。

而且自卫的界定也需要你有相关的证据。无论如何，先去找证据来证明自卫吧。

互殴啊？！！
那就不是正当防卫，肯定要赔偿的

如果能证明自卫的话，派出所无权拘留。国家赔偿法规定，如果执法单位违法，无论是限制人身自由，还是造成伤害，都要赔偿的。