这种类型的数学归纳题如何做?

来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/09/28 17:59:49
用数学归纳法求证:n^3+5n能被6整除

用数学归纳法证明

证明:

(1)当k=1时k^3+5k=6能被6整除

(2)设k=n时n^3+5n能被6整除,则当k=n+1时

(n+1)^3+5(n+1)=n^3+5n+3(n^2+n)+6

因为n^3+5n能被6整除 且6也被6整除

现在只要证明3(n^2+n)能被6整除即可

因为n为自然数 当n为偶数时n^2+n=偶数3* (n^2+n)能被6整除
当n为奇数时n^2=奇数 n+n^2=偶数 所以(n^2+n) 也能被6整除

所以3(n^2+n)能被6整除

所以(n+1)^3+5(n+1)能被6整除

k^3+5k能被6整除

数学归纳法
1.当n=1时,n^3+5n =6 ,所以能整除6
2.当n>1,设n=n-1时可以整除 (n-1)^3+5(n-1)。
哪么当n=n时
n^3+5n =[(n-1)+1]^3 +5[(n-1)+1]
=(n-1)^3 + 5(n-1) +6 +3(n-1)^2 +3(n-1)
可以看出前三项都是可以整除6的。对于后两项化简
可以得到 3n(n-1)
哪么对于n>1.n(n-1) 必然一个为奇数,一个为偶数。
哪么3n(n-1)/6 =n(n-1)/2 必然为正整数
所以方程式n^3+5n 可以被整除

当n=1时1+5=6能被6整除 命题成立
假设n=k时k^3+5k被6整除,
n=k+1时
(k+1)^3+5*(k+1)
=k^3+3*k^2+3*k+1+5*k+5
=(k^3+5k)+6+3*(k^2+k)
主要是证明k^2+k是偶数
当k是奇数时k^2+k是偶数
当k是偶数时k^2+k是偶数
所以当n=k+1时命题成立
综上所述命题成立

看错