什么是一个函数的反函数？

一个函数的反函数，就是将原函数的x与y互换之后得到的新函数。

在什么条件下，一个函数没有反函数？
首先你得明白什么是函数。
通俗地说，函数就是每取一个x，只对应“一个”y值。（这大概是课本上定义的原话）
注意上面出现了两个“一个”，但着重点在后面，强调的是后面的“一个”，仔细体会。
这样函数就分成了三类：
1、每个x都有对应的y值，但某些y没有对应的x，例如
x={1，2，5，11，20}，y={3，6，15，33，60，85，100}，对应法则：乘以3。
你会发现x集合中的1，2，5，11，20分别对应了y集合中的3，6，15，33，60，但y中的85，100却多出来，没有与之对应的x，这也是函数。
虽然是集合，也是函数。
2、每个x对应一个y，同时一个y也对应一个x，这叫一一对应，在集合中叫一一映射。例如y=3x+1、y=1/x、y=2的x次方等等。
3、多个x对应一个y，例如
y=x的平方+1，x取±1时，y都等于2。又如
y=sinx，x取30°、150°、390°……时，y都等于0.5。

反函数也是函数，反完之后，也得满足函数的定义。
第1种情况，没有反函数。
假设它有反函数吧，那么x与y互换后得
x ={3，6，15，33，60，85，100}，y= {1，2，5，11，20}，对应法则：除以3。
会有一部分x没有对应的y值，不符合函数的定义。反完之后不叫函数了，那就是没有反函数。
第2种情况，有反函数。
x与y互换后得y=（x-1）/3、y=1/x、y=log2(x)等等。
符合函数的定义。反完之后仍旧是函数，所以就说有反函数。
第3种情况，没有反函数。
假设它有反函数吧，那么x与y互换后得什么呢，写不出来，但可知道的是：反完之后每一个x对应多个y值，不叫函数了，那就是没有反函数。(一例中x取2时，y是±1，另一例中x取0.5时，y得30°、150°、390°……)
太不公平了，多个x对应一个y，叫函数；多个y对应一个x，就不叫函数了。

综上所述，只有一一对应的函数