急啊 椭圆问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/21 22:32:50
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1,F2在X轴上，长轴长为6，焦距为4根号下2，过椭圆的左焦点F1 作一直线交椭圆于M,N两点，若弦MN的长等于椭圆的短轴长，试求出角 F2F1M的大小.
用3种方法解题
1.在直角坐标内解题
2.在极坐标内解题
3.利用直线方程和弦长公式解题

能有几种方法 说几种啊

好让人郁闷的问题，我只会这些了……

解：如图，（我发送了一个图，不知道你是不是能看到……）

 

  设M（x1,y1）,N(x2,y2).连结MF2，得F2F1M.

  由题可得，a=3，c=2√2，∴b^2=a^2-c^2=1.设原椭圆为C,

  则C:x^2/9+y^2=1.

  又可解得,该椭圆的左准线l的方程为:x=-a^2/c=-9√2/4.

  过点M、N跟别作MP⊥l于点P，NQ⊥l于点Q.

  解得该椭圆的离心率e=c/a=2√2/3.

  ∴由椭圆的第二定义得,|MF1|/|MP|=e,|NF1|/|NQ|=e. 

  ∴有，|MN|=|MF1|+|NF1|=e•|MP|+e•|NQ|=e•（x1+x2+9√2/2）.

  ∴|MN|=2√2/3(x1+x2+9√2/2).

  设直线MN的方程为y=k(x+2√2). 

  联立{y=k(x+2√2),x^2+9y^2=9

  得，(9k^2+1)x^2+36√2k^2x+(72k^2-9)=0.  解得，其中△＞0

  ∴由韦达定理可得，x1+x2=-36√2k^2/(9k^2+1)

又∵|MN|=2

  ∴有2√2/3[(-36√2k^2)/(9k^2+1)+9√2/2]=2.  

  解得，48k^2/(9k^2+1)=4,其中，9k^2+1恒大于零，

  ∴有48k^2=36k^2+4.即，k^2=1/3,

  ∴k=√3/3或-√3/3.

  ∴直线MN的方程为y=√3/