UC知道【几何】请教一道初二几何题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/07 15:24:47
图：
四边形ABCD中，角A=角B=90度，角C=60度，CD=2AD，AB=4 [1]在AB边上求作点P，使PC+PD最小 [2]求出[1]中PC+PD的最小值 我们在学三角形那一章，我猜可能会用到等腰等边30°之类的，谢谢大家。
请问第一问为什么那样做就是pc+pd最小？
四边形ABCD中，角A=角B=90度，角C=60度，CD=2AD，AB=4 [1]在AB边上求作点P，使PC+PD最小 [2]求出[1]中PC+PD的最小值 我们在学三角形那一章，我猜可能会用到等腰等边30°之类的，谢谢大家。
请问第一问为什么那样做就是pc+pd最小？
[1]延长DA到E，使AE＝AD，连接CE交AB于P，则点P就是所要求作的点，此时PC＋PD最小
[2]连接PD，过E作EF垂直于直线BC，垂足为F
显然EF＝AB＝4
因为CD＝2AD＝DE
所以∠DCE＝∠DEC
因为∠A＝∠B＝90°
所以ED//BC
所以∠DEC＝∠BCE
所以∠DCE＝∠BCE＝∠BCD/2＝60°/2＝30°
容易证明PD＝PE
所以PC＋PD＝PC＋PE＝CE
在直角三角形EFC中，
因为∠ECF＝30°
所以CE＝2EF＝8
所以PC＋PD的最小值是8
解：
[1]作法：如图所示，延长CB到E，使CB=BE，
连接ED与AB交于点P，点P即为所求
证明：如参考图1所示，连接PC，易证PC=PE，因此PC+PD=DE
在AB上任取一点Q，连接DQ、CQ、EQ，易证CQ=EQ，
则DQ+CQ=DQ+QE>DE=DP+CP
因此，DP+CP最小
[2]如参考图2所示，作DF⊥BC，且与BC交于F，连接DB
由于角C=60度，且CD=2AD，则FC=CD/2=AD=BF
因此，三角形DBC为等边三角形
BD=BC=BE，所以，三角形DEC为直角三角形，则角E为30度
因此，在直角三角形EDF中，角E为30度，则DE=2DF=2×4=8
即，PC+PD的最小值为8
