函数的值域问题（高考题）

要求F(x)=f(x)+1/f(x)的值域，也就是求f(x)=x+1/x,x∈[1/2,3]的值域。
x×1/x=1恒成立，所以当x=1/x的时候，x+1/x有最小值。解得x=1∈[1/2,3]。
所以f(x)=x+1/x,x∈[1/2,3]的最小值为2。
设x1>x,x、x1∈[1,3]，那么
f(x1)-f(x)=x1-x+(1/x1)-(1/x)
=(x·x1-1)(x1-x)/ (x·x1)
x1>x≥1，所以
x1-x>0
x·x1>1即x·x1-1>0
所以f(x1)-f(x)>0
即x∈[1,3]时，f(x)单调增。
同理可证：x∈[1/2,1]时，f(x)单调减。
所以f(1/2)=f(2)<f(3)=10/3，即f(x),x∈[1/2,3]的最大值。
所以F(x)的值域为〔2,10/3〕。