求证S1,S2,S3也是等差数列，并求其公差

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/12 19:30:49
在以d为公差的等差数列(an)中,设S1=a1+a2+...+an，S2=a(n+1)+a(n+2)+...+a(2n),S3=a(2n+1)+a(2n+2)+...+a(3n),求证S1,S2,S3也是等差数列，并求其公差
注：a后面括号里的内容为a的下标

a(n+1)=a1+nd
所以a(n+1)-a1=nd
同理
a(n+2)-a2=nd
……
a2n-an=nd
所以S2-S1=n*nd=n²d

a(2n+1)-a(n+1)=(an+2nd)-(a1+nd)=nd
则a(2n+2)-a(n+2)=nd
……
所以S3-S2=n²d

所以 S3-S2=S2-S1
所以S1,S2,S3也是等差数列
公差=S2-S1=n²d

等差数列 有 a(n+1)-a1=a(n+2)-a2=...=a(2n)-an=n*d d为公差
(*表示乘号)
所以上s2-s1=a(n+1)-a1+a(n+2)-a2+...+a(2n)-an=n*n*d
同理a(2n+1)-a(n+1)=a(2n+2)-a(n+2)=...=a(3n)-a(2n)=n*d
s3-s2=a(2n+1)-a(n+1)+a(2n+2)-a(n+2)+...+a(3n)-a(2n)=n*n*d
所以s2-s1＝s3-s2 s1+s3=2*s2 所以S1、S2、S3是等差

公差=n^2d

S2-S1=[a(n+1)-a1]+ [a(n+2)-a2]+……+[a(2n)-an]
=nd+nd+……+nd=(n^2)*d
S3-S2=[a(2n+1)-a(n+1)]+ [a(2n+2)-a(n+2)]+……+[a(3n)-a(2n)]

=nd+nd+……+nd=(n^2)*d
所以是等差数列 公差为(n^2)*d

S2-S1=nd乘以n=n2d
Sn-Sn-1=n2d，所以数学归纳法有S1,S2,S3也是等差数列，其公差是n2d