x,y为正数,且xy-(x+y)=1,求证x+y≥2((√2)+1)

x,y为正数
所以：xy≤(x+y)^2/4

xy=1+(x+y)≤(x+y)^2/4

设x+y=t

1+t≤t^2/4
t^2-4t-4≥0

解不等式：

t=x+y≥2((√2)+1) 负值舍去

令x+y=k,则y=k-x
又因为xy-x-y=1
(x-1)y=x+1
y=(x+1)/(x-1)＞0
所以x＞1
把y=k-x代入方程，有
x(k-x)-k=1
xk-x^2-k-1=0
x^2-xk+k+1=0
这个方程有实数根，那么
△=k^2-4k-4≥0
即(k-2√2-2)(k-2√2+2)≥0
即k≥2√2+2
或k≤2√2-2
而根据x＞1（同理还能得出y＞1）
所以只有
x+y＞2
即选择第一种情况
即x+y≥2√2+2