线性代数 A为m×p矩阵 B为p×n矩阵 r（A）+r（B）-p≤r（AB）≤min{r（A），r（B）}

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/02 10:15:32
线性代数 A为m×p矩阵 B为p×n矩阵
证明：r（A）+r（B）-p≤r（AB）≤min{r（A），r（B）} （r表示秩）
请详细解答，在线等。
后半部分可以不用证明。
一楼的回答似乎没有说到要领，二楼的回答不够具体——（1）表示r（AB）+p ？（3）表示r（A）+r（B）？
如何考察呢？请明示~

将A进行列分块为(a1,a2,a3,...ap),于是AB=b11a1+b21a2+...bp1ap+b12a1+b22a2+...+...+bpnap
所以AB可以由A的p个向量组线性线性表示,即r(AB)<=r(A).同理将B按行分块可证明r(AB)<=r(B).

考虑AB的相抵标准形PAQ=(多余的点是为了对齐,P与Q皆是可逆矩阵)
|I(r(A阶)) 0|
|0........... 0|
于是AB的秩等于PAQ(Q^-1)B.(左乘初等矩阵不会改变秩)
令Q的-1次方乘以B等于B',则r(B)=r(B'),将其分块为r(A)+(p-r(A))的上下两部分
于是
PAQ(Q^-1)B=
|I(r(A阶)) 0|*|B'1|
|0........... 0| |B'2|
=
|B'1|
|0...|
所以r(AB)=r(B'1)>=r(B')-r(B'2)=r(B)-r(B'2)
而r(B'2)不大于其行数p-r(A)
所以r(AB)>=r(B)-p+r(A)

前半部分：考察以下矩阵
(1)
I 0
0 AB
(2)
I B
A 0
(3)
0 B
A 0
的秩即可。

后半部分只要知道r(A)=dim(Im(A))即可。

补充：
对，（1）表示r（AB）+p （3）表示r（A）+r（B）；
（1）可以通过线性变换变到（2），（2）的秩不小于（3）的秩(因为[I B]满秩，但[0 B]未必)。

注：
既然已经给你提示了，就应该自己再动一下脑筋，不应该等现成答案。

这是秩的基本定理啊！怎么证明？除非把A和B都展开；即列出：
A=[a11,a12,a13....a1p;a21,a22....;....;ar1,ar2....arp;0,0,0,....,0,0