已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=2,且f(x)在R上的导数f'(x)<1,求不等式f(x2)<x2+1的解集

设g(u)=f(u)-u-1,导数g'(u)=f'(u)-1<0，g(u)单调递减,且g(1)=f(1)-1-1=0
所以使g(u)<0的解集为u>1;即f(u)<u+1 的解集为u>1，故f(x2)<x2+1的解集为x^2>1,即x>1或x<-1

设g(x)=f(x)-x-1,导数=f'(x)-1<0，g(x)单调递减。
g(1)=f(1)-1-1=0
所以使g(x)<0的解为x>1;
即这里的x2>1

构造函数g(x)=f(x)-x,由于f'(x)<1,则g(x)单调递减，
f(x2)<x2+1,得f(x^2)-x^2<f(1)-1即g(x^2)<g(1),
所以x^2>1