求 高一 关于复合函数的单调性的习题

1.f(x)的定义域为（o,+∞)且在（0，+∞）上为增函数，f(xy)=f(x)+f(y). 求证f(x/y)=f(x)-f(y)
解：
令x=y,y=x/y;
代入（1）；
则 ：f(y*x/y)=f(y)+f(x/y)
即： f(x)=f(y)+f(x/y)
所以 ：f(x/y)=f(x)-f(y);

2.函数f(x),g(x)在区间[a,b]上都有意义,且在此区间上f(x)为增函数f(x)>0,g(x)为减函数,g(x)<0.试判断f(x)*g(x)在[a,b]的单调性,并证明
解：
取任意x1,x2属于[a，b],且x1>x2
则有f(x1)>f(x2)>0 ，g(x1)<g(x2)<0
|g(x2)|>|g(x1)|>0
故|f(x1)*g(x1)| > |f(x2)*g(x2)| ---(1)
而 f(x1)*g(x1)<0 ，f(x2)*g(x2)<0
绝对值越大的负数， 其值越小
f(x1)*g(x1)<f(x2)*g(x2)-----(2)
所以 ：为减函数

3.数y=x^4-2x^2+3的单调区间
解：
设t=x^2 则y=（t-1）^2+2
由x≥1 得x≥-1或x≤1 由x≤-1 得-1≤x≤1
∵
t=x^2 在(-∞,-1]上是减函数,在[-1,0]上是减函数,在[0.1]上是增函数,在[1,+∞)上是增函数.
y=（t-1）^2+2 在(-∞,1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数
∴y=x^4-2x^2+3 在(-∞,-1]上是减函数,在[-1,0]上是增函数,在[0.1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数.

4.设函数y=f(x)定义在R上，当x>0时y=f(x)>1，且对于任意实数a,b属于R，有f(a+b)=f(a)·f(b)，判断 f(x)在R上的单调性。
解：设x1<x2
则f(x2)=f