一个关于子集数量的问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/27 15:26:16
一个集合所有子集的子集数量之和为3^n,请问如何证明？
就是说一个集合，有n个元素，2^n个子集，把这2^n个子集的所有子集数相加就是3^n,这是为什么？

这个集合的子集中：
空级的子集只有一个——它本身。即C(n,0)×2^0个。
有一个元素的子集有C(n,1)=n个，它们分别有2^1=2个子集。共C(n,1)×2^1个。
有两个元素的子集有C(n,2)个，它们分别有2^2=4个子集。共C(n,2)×2^2个。
……
有n个元素的子集有C(n,n)个，它有2^n个子集，即C(n,n)×2^n个。
综上，所有的子集的子集个数为
C(n,0)×2^0+C(n,1)×2^1+C(n,2)×2^2+……+C(n,n)×2^n
=(1+2)^n……{二项式定理}
=3^n
证毕。

ps。LZ研究这个有没有什么实际意义？