【一道算式】初二一道代数题

按(1+x+x^2+x^3)进行组合，答案＝0
x+x^2+x^3+x^4+……+x^2008
＝x(1+x+x^2+x^3)＋x^5(1+x+x^2+x^3)+x^9(1+x+x^2+x^3)+……+x^2005(1+x+x^2+x^3)
＝(x×0)+(x^5×0)+(x^9×0)+……＋(x^2005×0)
＝0

1+x+x^2+x^3=0.左右两边同乘以x,得:
x+x^2+x^3+x^4=0

(x+x^2+x^3+x^4)-(1+x+x^2+x^3)=0-0=0
又(x+x^2+x^3+x^4)-(1+x+x^2+x^3)=x^4-1
所以x^4=1
又1+x+x^2+x^3=0,所以只有x=-1.
1+x+x^2+x^3+……+x^2007=1-1+1-1...(奇数次方取-1,偶数次方取1)=0

1+x+x^2+x^3+……+x^2007
=1+x+x^2+x^3+x^4(1+x+x^2+x^3)+x^8(1+x+x^2+x^3)+......+x^2004(1+x+x^2+x^3)
=0

=0 每4个就等于0 如X 4次方+X5次方+X6次方+X7次方=X4次方(1+X+X平方+X3次方) 后面的也一样到2007次方正好有502组

1+x+x^2+x^3+……+x^2007

=(1+x+x^2+x^3)+x^4(1+x+x^2+x^3)+.....+x^2004(1+x+x^2+x^3)

=0+0+.....+0

=0

原式=1+x+x^2+x^3+X^4（1+x+x^2+x^3）+X^8（1+x+x^2+x^3）+X^12（1+x+x^2+x^3）+……+X^2004（1+x+x^2+x^3）=0
x^3后面的X^4、X^5、X^6、X^7均提出X^4，结果即为1+x+x^2+x^3，后面同理。观察前面几组数，均是四的整数倍。第一组是4的0倍，第二组是4的一倍，第三组是4的二倍，刚好2004也是4的倍数，所以原式可化为上式。