高中数学题！急噢，会的请进

f(x)=(x^2+2x+a)/x=x+2+a/x
画图，y1=x，y2=a/x（a>0）,将两个加起来可得到f（x）的图，可以看到a>0时，最小值为f（x）>=2+(4*a)^(1/2),x=a^(1/2)。
在x<a^(1/2)单调减小 在x>a^(1/2)单调增加
（a+b）^2>=4ab a=b时等号成立
所以f（x）>=2+(4*a)^(1/2)
当a=4时，最小值为6,此时x=2

当a为正常数，a>1是 最小值为f（x）>=2+(4*a)^(1/2) 此时x=a^(1/2)
0《a<1是 最小值为f（x）>=3+a 此时x=1

（3)若对任意的x属于[1,正无穷），f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围！
即求 x^2+2x+a》0 （x+1）^2+a-1>0 x属于[1,正无穷）,4+a-1>0,
a>-3

或者求导

(1)当a=4时,f(x)=(x^2+2x+4)/x=x+4/x+2
因x∈[1,+∞),所以x与4/x是正数,
所以x+4/x+2≥2√(x.4/x)+2=4+2=6
即f(x)≥6,亦即f(x)最小值是6.

(2)若a为正常数
则f(x)≥2√(x.a/x)+2=2√a+2,即f(x)最小值是2+2√a

（3)若对任意的x属于[1,正无穷），f(x)>0恒成立
则(i)当a≥0时,f(x)≥2+2√a>0恒成立
(ii)当a<0时,因x>1,
所以由f(x)=(x^2+2x+a)/x>0知:x^2+2x+a>0恒成立
即 Δ=4-8a<0
所以a>1/2,所以a不存在
由(i)(ii)知:a≥0

李老师(QQ:921458093,Email:gkli@163.com)