关于矩阵的一个问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/08 11:35:05
已经A^2=A B^2=B (A+B)^2=a+b,求证AB=BA=0, A B 是任意两个N阶矩阵

由已知条件直接可得AB+BA=0。
根据A^2=A和B^2=B得A和B的特征值只能是0或1，并且都有完全特征向量系(极小多项式无重根)。
任取B的特征向量x，有BAx=-ABx=-cAx，其中c是0或1。
若c=0，那么BAx=0。
若c=1，那么Ax必须为0(否则B就有一个特征值是-1)，即BAx=0。
不论哪种情况，都有BAx=0。
将x取遍B的特征向量即得BA=0。